Para solicitar un duplicado de la escritura de una propiedad hay que acudir al notario, ya que éste conserva siempre el documento original para evitar que se manipule o que se pierda definitivamente. Por lo tanto, para pedir un duplicado es preciso acudir a la notaría donde se firmó la transmisión del inmueble. El solicitante debe demostrar que su interés en la copia es legítimo, por lo que dudo que tu vecino pueda solicitar tu escritura de propiedad.
Otra cosa es que tu vecino acuda al Registro de la Propiedad y solicite una Nota Simple, aunque es un documento público, se tienen que dejar los datos y DNI del que solicita.

Las escrituras se solicitan no en el Ayuntamiento, sino en el Registro de la Propiedad. Se abona una cantidad en torno a los 4€, por una Nota Simple.