Estimado Juan, respondiendo a tu consulta.
Podrias llevar a cabo la escrituración de la compraventa de la casa, pero en el registro de la propiedad, actualmente, y si es que en algún momento la misma se inscribió en el Rregistro de la Propiedad competente, constará la primera inscripción, y para regularizarlo todo, te requerirán título previo, es decir, necesitarías escrituras de compraventa de las dos anteriores a ti, para poder formalizar tu inscripción, puesto que al no estar formalizado de manera adecuada no puede transmitirte la vivienda la persona que te la vende sin ese título de propiedad público. (a no ser que se hiciera de nuevo mediante contrato privado y por lo tanto sin eficacia ante los demás)
Por otro lado, y en caso de que no estuviera inscrita, requeriría hacer una inmatriculación de finca, cuyos trámites son bastantes más largos.
El coste no puedo decirtelo puesto que depende, respecto de notaria, del importe de la compraventa, y a raíz de ahí se aplican una serie de aranceles notariales, teniendo en cuenta también el número de folios de la propia escritura y otros conceptos como las diligencias, y luego el importe del registrador tampoco puedo estimarte cuanto sería.
Desde luego, si está inscrita la finca aun que no sea a nombre de los posteriores titulares que compraron mediante contrato privado, es imprescindible para poder inscribirla, que se formalicen las dos compraventas anteriores, puesto que sin título previo, no podrás inscribirla a tu nombre, y una vez que esté formalizado podrás hacer tu escritura de compraventa ante notario e inscribir todo adecuadamente.